Macar asıllı Amerikan matematiksel sistem teorisi Rudolf Kalman tarafından bulunan "Kalman Filtresi" özellikle kontrol sistemleri, navigasyon, robotik, finans, sinyal işleme gibi alanlarda yaygın olarak kullanılmaktadır.

Buradaki temel mantık model tahmini, gözlem ile karşılaştırılmasına dayanmaktadır. Model tahmini, gözlem ile karşılaştırılır ve farkı alınır. Bu fark, "Kalman Kazancı" olarak bilinen bir çarpan ile ölçeklendirilir. Bu daha sonra sıradaki tahminleri iyileştirmek için modele bir girdi olarak geri beslenir. Kazanç, performansı iyileştirmek için değiştirip istenilen değere sabitlenebilir. Şekil 1’de bu sistem kısaca özetlenmiştir.
 

Şekil 1: Matematiksel Model

Yüksek kazanç değerleri kullanılırsa, filtre çıkışı gözlemleri daha yakından takip eder. Düşük kazanç değeri kullanıldığında filtre model tahminlerini daha yakından takip eder. Yöntem, gerçek bilinmeyen değerlere, tek bir ölçüme veya sadece model tahminlerine dayanarak elde edilebilecek tahminlerden daha yakın tahminler üretmek için kullanılmaktadır.

Her bir zaman adımında, Kalman Filtresi, gerçek bilinmeyen değerlerin tahminlerini belirsizlikleriyle beraber üretir. Sıradaki ölçümün sonucu gözlendiğinde, bu tahminler, belirsizliği düşük tahminlere daha fazla ağırlık vererek, ağırlıklı ortalama ile güncellenir. Şekil 2’de bu olayın nasıl gerçekleştiği gösterilmektedir.
 

Şekil 2: Kalman Filtresi Değerleri Güncelleme Grafiği

Kalman filtresi, teorik olarak doğrusal dinamik sistemlerin durum kestiriminde kullanılan ve istatistiksel temeli güçlü bir yöntemdir. Bu yöntemin temel varsayımı, sistem dinamiklerinin doğrusal olması ve hem süreç hem de ölçüm gürültüsünün sıklıkla çok değişkenli Gaussian dağılıma sahip olmasıdır. Gaussian dağılım varsayımı, filtrelemenin matematiksel olarak kapalı formda çözülebilmesini sağlar; çünkü doğrusal sistemlerde Gaussian dağılımlar doğrusal dönüşümler altında da Gaussian kalır. Kalman filtresi, minimum ortalama kare hatasına (MMSE – Minimum Mean Square Error) göre en iyi kestirimi sağlar ve bu yönüyle optimaldir.

 

Şekil 3: Gaussian Dağılımı Grafiği

 

Aşağıda, Kalman Filtresi hesaplamalarında kullanılan temel değişkenlerin tanımları ve algoritmanın iki ana aşaması olan öngörü (prediction) ve güncelleme (update) adımlarına ait formüller verilmiştir. Hesaplamalar, sistemin durumunu doğrusal varsayım altında Gaussian dağılımıyla modelleyen klasik Kalman filtresi yapısına dayanmaktadır.


Öngörü (Tahmin):

x̂ₖ|ₖ₋₁ = A ⋅ x̂ₖ₋₁|ₖ₋₁

Pₖ|ₖ₋₁ = A ⋅ Pₖ₋₁|ₖ₋₁ ⋅ Aᵀ + Q

Güncelleme (Update) Adımı:

Kₖ = Pₖ|ₖ₋₁ ⋅ Hᵀ / (H ⋅ Pₖ|ₖ₋₁ ⋅ Hᵀ + R)
x̂ₖ|ₖ = x̂ₖ|ₖ₋₁ + Kₖ ⋅ (zₖ - H ⋅ x̂ₖ|ₖ₋₁)
Pₖ|ₖ = (1 - Kₖ ⋅ H) ⋅ Pₖ|ₖ₋₁


Değişkenler:

x̂ₖ|ₖ     Zaman k’daki en iyi tahmin (güncellenmiş değer)
x̂ₖ|ₖ₋₁  Zaman k’daki öngörü (önceden tahmin edilen değer)
Pₖ|ₖ    Güncellenmiş belirsizlik (kovaryans matrisi)
Pₖ|ₖ₋₁ Önceden tahmin edilen belirsizlik (kovaryans matrisi)
Kₖ       Kalman kazancı (ölçüm ve tahminin ağırlıklı ortalamasında ağırlık faktörü)
zₖ       Zaman k’daki ölçüm değeri R : Ölçüm gürültüsünün kovaryansı (sensör hatalarının gücü)
Q       Süreç (model) gürültüsünün kovaryansı (sistem modelinin belirsizliği)
A        Sistem geçiş katsayısı (durumun zamanla nasıl değiştiğini gösterir; genelde 1 alınır)
H:      Ölçüm katsayısı (ölçümün duruma olan doğrusal bağı; genelde 1 alınır)

 

► Unscented Kalman Filter (UKF)
► Ensemble Kalman Filter (EnKF)
► Extended Kalman Filter (EKF)


Gerçek dünya sistemlerinin çoğu doğrusal olmadığından, Kalman filtresinin bu sınırlamasını aşmak üzere genişletilmiş Kalman filtresi (Extended Kalman Filter - EKF) ve daha ileri yöntemler geliştirilmiştir. EKF, doğrusal olmayan sistemleri doğrusal olarak yaklaşıklar ve böylece Kalman filtresi mantığını doğrusal olmayan sistemlere de uygulayabilir hale getirir.

 

Robotik

Mobil robotların konumunun belirlenmesinde (örneğin SLAM – Simultaneous Localization and Mapping), ivmeölçer ve jiroskop gibi sensör verileri birleştirilerek doğru pozisyon kestirimi yapılır.

Havacılık ve Navigasyon

Uçak, uydu ve İHA’ların konum ve hız bilgileri GPS, barometre ve IMU verileri birleştirilerek Kalman filtresiyle daha hassas tahmin edilir.


Finans

Hisse senedi fiyat tahmininde, zaman serisi analizlerinde Kalman filtresi kullanılabilir.


Elektronik ve Haberleşme

Sinyal gürültüsünün filtrelenmesinde ve adaptif filtre uygulamalarında kullanılır.

Şekil 4: Filtrelenmiş Sinyal

Şekil 4’te görüldüğü üzere, gürültülü bir sinyal daha temiz bir hale getirilerek filtreleme işlemi gerçekleştirilmiştir. Bu sayede, sensörlerin ani veri değişimleri ve gürültüden kolayca etkilenmesi gibi olumsuz durumlar başarılı bir şekilde giderilmiştir.

 

Örneğin bir IMU sensöründen alınan ivme ve jiroskop verisiyle bir cismin hız ve pozisyonunu kestirebiliriz.

Burada:

► Sistem modeli Newton’un hareket yasalarına göre kurulur.
► Ölçüm modeli sensör datasına göre tanımlanır.
► Filtre döngüsü gerçek zamanlı çalışarak sistemin konumunu tahmin eder.

Kalman filtresi, ölçüm hatalarının yoğun olduğu ortamlarda sistem durumunu doğru bir şekilde tahmin etmek için güçlü bir araçtır. Özellikle mühendislik alanlarında hem teorik hem de pratik uygulamalar açısından önemlidir. Doğru modelleme ve parametre seçimleriyle oldukça yüksek performans sağlar.





Yazar: Mert Tuna ALBAYRAK


Kaynakça:

► Kalman, R. E. (1960). "A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems". Transactions of the ASME.
► Welch, G., & Bishop, G. (1995). An Introduction to the Kalman Filter.
► Simon, D. (2006). Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches.
► “Kalman Filter Nedir?” https://medium.com/@syndrome/kalman-filter-nedir-51c38a12c423
► “Kalman Filtresi” https://tr.wikipedia.org/wiki/Kalman_Filtresi
► “Kalman Filtresi Nedir, Ne İşe Yarar, Nasıl Çalışır?” https://www.youtube.com/watch?v=3SXbLH20L70