Routh Kararlılık Ölçütü |
Kontrol Sistemleri

Lineer kontrol sistemlerinin, en önemli konularından biri kararlılıktır. Sistemin, hangi koşullar altında kararsız olduğu ve eğer kararsızsa, sistemin kararlı hale nasıl getirilebileceği konularına oldukça dikkat edilmelidir. Bu yazımızda, lineer kontrol sistemlerinde; yüksek mertebeli sistemlerin kararlılığını analitik olarak belirlemede kullanılan, Routh kararlılık kriterini inceledik.

A- A+

03.04.2018 tarihli yazı 23108 kez okunmuştur.

Sistemlerin kararlı olup olmadığı üstünde çalışılan sistemin darbe cevabından bulunulabilir. Eğer bir sistem kararlıysa, darbe cevabı sıfıra yakınsar ve transfer fonksiyonunun tüm kutupları sol- yarı düzlemdedir. Birinci ve ikinci dereceden sistemlerin kararı olup olmadıkları kolayca bulunabilirken, üçüncü ve daha yüksek dereceden sürekli zamanlı sistemlerin kutuplarının sol yarı düzlemde olup olmadığını analitik olarak belirlemek için Routh kriteri adı verilen yöntemi kullanılabilir. Routh kriteri, sistemin payda polinomunu faktörlerine ayırmadan sağ-yarı düzlemdeki kutup sayısının bulunabilmesine imkan sağlar.

Bir kapalı-çevrim sisteminin transfer fonksiyonu, (m<=n) için;

şeklinde yazılırsa , a₀sⁿ+ a₁s^n-1+…….+ a_n-1s + a_n= 0 karakteristik denkleminin kökleri aynı zamanda kapalı -çevrim siseminin kutuplarıdır. Routh kararlılık kriteri, böyle bir sistemin karakteristik denklemini çözmeye gerek kalmadan denklemin sağ-yarı düzlemdeki kök sayısını yani kararsız kutup sayısını verir. Bu kriter sadece sonlu sayıda terime sahip karakteristik denklemlere uygulanabilir.

Routh kararlılık kriteri sırasıyla aşağıdaki şekilde uygulanır:

►Karakteristik denklem aşağıdaki şekildeki gibi yazılır. Ayrıca a_n=0 olmamalıdır, yani s=0’daki kutuplar denklemden çıkarılmalıdır.

►Eğer en az bir tane pozitif katsayı varken, herhangi bir katsayı sıfır veya negatifse; o zaman sanal eksende veya sağ-yarı düzlemde kök veya kökler vardır. Bu yüzden de sistem karalı değildir. Eğer sadece mutlak kararlılıkla ilgileniliyorsa, daha fazla araştırmaya gerek yoktur.

►Eğer tüm katsayılar sıfırdan farklı pozitif ise, o zaman katsayılar aşağıdaki gibi Routh tablasuna yerleştirilir.Toplam satır sayısı (n+1) olacak şekilde bu işleme devam edilir.

\ begin {matrix} s ^ N \\ s ^ {N-1} \\ \\ \\ s ^ 0 \ end {matris} \ begin {vmatrix} a_N & a_ {N - 2} & \ cdots & 0 \ \ a_ {N-1} & a_ {N-3} & \ cdots & 0 \\ b_ {N-1} & b_ {N-3} & \ cdots \\ c_ {N-1} & c_ {N- 3} & \ cdots \\ \ cdots \ end {vmatrix}

Katsayılar ise şu şekilde bulunur;

►İlginizi Çekebilir: Kapalı Çevrim Kontrol Sistemleri

Tabloyu oluştururken kolaylık sağlamak için bir satır tamamen belirli bir katsayıyla çarpılabilir.
Routh kararlılık kriterine göre, a₀sⁿ+ a₁s^n-1+…….+ a_n-1s + a_n= 0 dekleminin pozitif reel kısımlı kök sayısı, oluşturulan Routh tablosunun,birinci sütunundaki işaret değişimi sayısına eşittir.

Örnek: Transfer fonksiyonu aşağıdaki gibi olan sistemin kararlığını inceleyiniz.

H(s)=1/s⁴+2s³+3s²+4s+5

Karakteristik denklem s⁴+2s³+3s²+4s+5 şeklindedir. Routh tablosu oluşturulursa :

S⁴	1	3	5
S³	2	4	0
S³	1	5
S²	-6
S¹	5

İlk sütunda iki adet işaret değişikliği olduğundan, sağ-yarı üzlemde iki tane kutup vardır. Bu yüzden sistem kararsızdır. Gerçekten de sistemin kutupları 0.2878 ± j 1.4161i, -1.2878 ± j 0.8579 şeklindedir.

Routh Kriterinde Özel Durumlar:

Özel durum 1: İlk sütundaki elemanlardan biri sıfır ve bu terimin olduğu satırdaki diğer elemanlar sıfırdan farklı veya başka eleman yoksa, o zaman bu sıfır terimi çok küçük pozitif bir sayı olan Ɛ ile değiştirilir ve hesaplamalara devam edilir. Dizinin tamamını oluşturduktan sonra, son değerlerimizi almak için ε ‘nin sıfıra yaklaşmasını limit alabiliriz. Eğer (ε) üzerindeki işaret katsayısı onunkiyle aynıysa, bu saf hayali kökleri gösterir.

Aşağıdaki karakteristik polinomu ele alalım:
s³+2s²+s+2

S³	1	1
S²	2	2
S¹	0
S⁰	2

Burada 0 yerine,ε konulmuştur ve işleme devam edilmiştir.

İlk sütunda işaret değişikliği yoktur ama bu, sistemin kararlı olduğu anlamına gelmez. Bu durumda sistem sadecekritik kararlıdır, yani salınım yapar. Salınım frekansını bulmak için bir üst satırdan yardımcı polinom alınır:

P(s) = 2s²+ 2

Bu yardımcı polinomun sıfıra eşitlenmesiyle bulunan kökler sistemin
frekansını verir.

P(s) = 2s²+ 2 = 0 s_1,2= ±j
Gerçekten de sistemin kutupları -2, ±j şeklindedir.

Özel durum 2: Bir satırdaki elemanların tümü sıfırsa, o zaman eşit genlikli ve birbirine zıt konumda kutuplar var demektir. Yani zıt işaretli iki reel kutup ve /veya eşlenik-karmaşık bir çift kutup var demektir. Böyle bir durumda yardımcı polinom kullanılır. Bununla birlikte, dikkat edilmesi gereken önemli bir nokta, jω ekseninde tekrarlanan kökler varsa, sistemin aslında kararsız olmasıdır . Bu nedenle, köklerin tekrarlanıp tekrarlanmadığını belirlemek için yardımcı polinomu kullanmalıyız. Bir üst satırdan polinom çözülerek de zıt işaretli iki reel kutup ve/veya eşlenik-karmaşık bir çift kutup bulunabilir.

Örnek: Aşağıdaki karakteristik polinomu ele alalım:

s⁵+2s⁴+24s³+48s²-25s-50=0

S⁵	1	24	*-25*
S⁴	2	48	*-50*
S³	0	0	0

Burada bir sıfır satırı oluştu.Bu yüzden bir üst satırdan yardımcı polinom oluşturulur.

P(s)=2s⁴+48s²-50

Bu yardımcı polinom gösteriyor ki ya zıt işaretli iki reel kutup vardır ya da eşlenik-karmaşık bir çift kutup vardır. Bunu bulabilmek için P(s)= 2s⁴+48s²-50= 0 denkleminin çözülmesi gerekir.İşleme devam etmek için polinomun türevi alınır:

dP(s)/d(s)=8s³+96s

Bu katsayılarda Routh tablosuna devam edelim:

S⁵	1	24	*-25*
S⁴	2	48	*-50*
S³	8	96
S²	24	*-50*
S¹	*112,7*	0
S⁰	*-50*

Buradan görülüyor ki, bir tane işaret değişikliği var ve sistem kararsızdır. Yardımcı polinomu sıfıra eşitleyip çözersek ,yani;
P(s)= 2s⁴+48s²-50=0

Denkleminin çözümü bize s±1 ve s±j5 köklerini buluruz.Bu kökler karakteristik denklemin köklerinden dört tanesidir. Son kök de s=-2’dedir.

Routh Kararlılık Kriterinin Kontrol Sistemlerinin Analizine Uygulanması

İlk bakışta Routh kararlılık kriterinin, kontrol sistemlerinin analizinde sınırlı bir kulanım alanı olduğu kanısına varılabilir, çünkü bu kriter bize göreli kararlılığı nasıl artırabileceğimiz veya kararsız bir sistemi nasıl kararlı hale getirebileceğimiz konusunda fikir vermektedir. Bu kriter kullanılarak, sistemdeki bir parametrenin değiştirilmesiyle sistemin kararlılığının nasıl etkilendiği gözlemlenebilir ve sistemi kararlı yapan parametre aralığı belirlenebilir.

Örnek: Kapalı-çevrim transfer fonksiyonu ,

C(s) / R(s)= K / (s.(s² + s + 1) * (s+2) + K) şeklinde olan bir sisemin karakteristik poliomu,

s⁴ + 3s³ +3s² +2s + K =0 'dır.

Rout tablosunu oluşturacak olursak,

s⁴	1	3	K
s³	3	2	0
s²	2,33	K
s¹	2- 9/7K
s⁰	K

İlk sütuna işaret değişikliği olmaması için, 0 < 2-9/7K olmalıdır, yani kararlılığı, 0 < K < 14/9 şeklindedir ve K= 14/9 için salınım yapar.

Kaynak:

►Prof.Dr.Serdar İplikçi Ders Notları
►Wikibooks/Control Systems