Diverjans Nedir? |
Vektör Kalkülüs'ü Anlamak - 2

Diverjans (Divergence), diğer adıyla uzaksama, akı yoğunluğu demektir. Tüm mühendislik dallarında, Elektromanyetik Alanlar Teorisi'nde, Akışkanlar Mekaniği'nde vb derslerde karşımıza çıkan üç boyutlu uzay işlemlerinde sıkça kullandığımız diverjansın ne anlama geldiğini biliyor muyuz? Vektör kalkülüsün temellerinde indiğimiz bu yazı dizimizin bu bölümünde diverjansı ele alacağız.

A- A+

28.02.2015 tarihli yazı 26123 kez okunmuştur.

Diverjans Iraksama Vektör Kalkülüs Vektörler Akı Matematik Fizik Mühendislik İntegral Türev Nokta Çarpımı Elektromanyetik Alan Teorisi Akışkanlar Mekaniği Üç Boyutlu Uzay

Fiziksel Yönü

Diverjans, skaler bir niceliktir ve akı yoğunluğu olarak tanımlanır. Diverjans, bir nokta için tanımlı bir kavram olup, bir noktaya giren ya da bir noktadan çıkan akı miktarını belirtir. Akının genişleme oranı (pozitif diverjans) ya da akının daralma oranı (negatif diverjans) olarak da düşünülebilir. Örneğin ısıdıkça genişleyen havanın hızını gösteren bir vektör alanın diverjansı pozitif olacaktır. Bunun sebebi havanın genişlemesidir. Eğer hava soğuyor ve daralıyorsa diverjansı negatif olacaktır.

Akı Nedir? yazımızdan hatırlayacağınız gibi, akı, vektör alan çizgileri kapalı bir yüzeyi terkettiğinde pozitiftir, yüzeye girdiğinde negatiftir.

Negatif Diverjans

Bir vektör alan içerisindeki noktaları düşünelim. Eğer vektörler bir noktaya doğru yöneliyorsa, o noktada negatif diverjans vardır.

Lavabo gideri, diverjansın negatif olduğu noktaya güzel bir örnektir.

►İlginizi Çekebilir: Elektrik Dersleri | Alternatif Akımın Temel Tanımları

Diverjansın negatif olduğu noktada, vektör alan çizgileri yukarıdaki gibi noktaya doğru olur.

Pozitif Diverjans

Eğer akı bir noktadan dışarı doğru ise, bu pozitif diverjanstır.

Hortumdan çıkan su, bir noktadaki pozitif diverjans gibidir.

►İlginizi Çekebilir: Akı (Flux) Nedir? | Vektör Kalkülüs'ü Anlamak - 1

Diverjansın pozitif olduğu noktada, vektör alan çizgileri yukarıdaki gibi dışarıya doğru olur.

Sıfır Diverjans

Diverjans, birim hacimdeki net akı, yani akı yoğunluğudur. Bir küp cisim hayal edelim. Akı yüzeylerin bazılarından giriyor, bazılarından çıkıyor olabilir. Bu noktada net akıyı hesaplamamız gerekmektedir. Diverjansın sıfır olması net akının sıfır olduğunu gösterir.

Diverjans sıfır olduğunda, vektör alan çizgileri yukarıdaki gibi olur.

Matematiksel Yönü

Fiziksel kısmı anladıktan sonra sıra onu matematiksel olarak ifade etmeye geliyor. Diverjansı matematiksel olarak ifade etmek için kartezyen koordinatlardan faydalanalım. Bir küp hayal edelim. Kübün x, y, z bileşenleri bulunmaktadır. x, y, z bileşenlerindeki toplam akıları hesaplayıp skaler olarak toplamamız gerekir.

Örneğin bir noktadaki diverjansı hesaplamak isteğimizde, o noktada kenarları dx, dy, dz olan çok ufak bir küp olduğunu varsayalım. Net akıyı hesaplamak için, akının X bileşeninin X yönündeki değişimi, Y bileşeninin Y yönündeki değişimi, Z bileşenini Z yönündeki değişimini hesaplamamız gerekmektedir. Eğer hiç akı değişimi yoksa, 0 + 0 + 0'dan net akı 0 olur. Ya da X, Y, Z bileşenlerinde 1 - 2 + 5 gibi bir akı değişimi oluştuysa net akı 4'tür. Ele aldığımız bir nokta olduğu için diverjans da 4 olur.

Diverjans, vektör alanların x, y, z yönlerinde değişimlerinin toplamıdır.

► Diverjans, del yada nabla operatörü ve yanında nokta

ile ifade edilir. Gradyan bize etkilediği vektör alanın kısmi türevlerini (dx, dy, dz) verir ve nokta çarpımı toplamı (x*dx + y*dy + z*dz) sağlar.

► Diverjans, bir sayı değeridir. Örneğin yoğunluk gibi.

► Diverjans, ıraksama, uzaklaşma gibi bir anlama sahiptir. Bunu bildiğimizde diverjansının akının genişlemesinin (pozitif diverjans) ya da daralmasının (negatif diverjans) ölçüsü olduğunu görebiliriz.

Akının mantığı anlaşıldığında diverjansı anlamak da zor olmayacaktır. Bu Gauss Kanunu gibi teoremleri anlamada kolaylık sağlayacaktır.

Aşağıda ki videoda diverjansın temel anlatımını bulabilirsiniz.