Karmaşık Sayıların Mühendislikte Kullanımı

Karmaşık sayılar z = x + iy şeklinde gösterilir. Karmaşık sayının x gerçel sayı kısmını temsil ederken y imajiner kısmını temsil etmekte ve x = sqrt(-1) i ifade etmektedir. Bu yazımızda karmaşık sayıların mühendislikte yerini inceledik.

A- A+

17.02.2017 tarihli yazı 34909 kez okunmuştur.

Karmaşık sayıların kutupsal gösterimleri de vardır. Bu gösterim karmaşık sayıların uzunluk ve açısal formda ifadesidir. Uzunluk değerini |z| = sqrt (x²+y²) formülü ile açı değerini ise θ = tan^-1(y/x) formülü ile elde ederiz.

Örneğin z = x + iy gibi karmaşık bir sayının iki boyutlu grafiksel gösterimi x gerçel eksen üzerinde ve y imajiner eksen üzere Şekil 1 (a) da verilmiştir.

Örneğimiz olan z = x + iy ifadesinin polar formunun grafiksel gösterimi |z| vektör uzunluğu, θ ise saat yönünün tersine olarak Şekil 1 (b) de gösterildiği gibidir.

Şekil 1: Karmaşık bir sayının iki boyutlu grafiksel gösterimi (a), polar formunun grafiksel gösterimi (b)

►İlginizi Çekebilir: Her Şeyde Bir Sinüs Var | Fourier Serisi

Karmaşık Sayıların Eşleniği

Örneğimiz olan z = x + iy olan karmaşık sayı ifadesini ele alalım. Karmaşık sayıların eşleğinin z* şeklinde sembolize edilir ve z* = x - iy eşittir. Eşleniği alınmış karmaşık sayıda imajiner kısmın işareti değişir gerçel kısım aynı kalır. Eşleniği alınmış karmaşık sayıların kutupsal ifadesinde ise uzunluk değeri değişmezken açı değeri saat yönünde değişir.

Şekil 2: Eşleniği alınmış karmaşık sayıların grafiksel gösterimi

Şekil 2'de eşleniği alınmış karmaşık sayıların grafiksel gösterimini görüyorsunuz. Şekil 1(a) ve Şekil 2 (a) da ki grafikleri yakından inceleyelim. Gerçel eksendeki x değerinin ve işaretinin aynı kaldığını görüyoruz. İmajiner eksene baktığımızda ise y değeri aynı iken işareti değişerek eksenin alt kısmına geçtiğini görmekteyiz.

Eşleniği alınmış karmaşık sayının kutupsal gösteriminde ise vektörün uzunluk ve açı değeri değişmezken, açının işareti değişerek vektör eksenin alt tarafına geçmekte. Karmaşık sayı vektörünün orijin etrafındaki açısal frekansı da ki değişimi üzerine düşünelim ( herhangi bir vektör orijin etrafındaki tam turu radyana karşılık gelmektedir. Bu nedenle bir tur, saniyede 2π radyanın açısal frekansına eşdeğerdir). Böylece karmaşık sayılara fazörler denir ve fazörler sinüzoidal değişimleri temsil etmektedir. Sonuç olarak karmaşık sayıları fiziksel dalgaları ve AC elektrik sinyallerini modellemek için kullanabiliriz.

►İlginizi Çekebilir: Graph Teorisi

Karmaşık Sayıların Eşleniğinin Önemi

1) Vektör Döndürme: Bir vektörü, karmaşık sayıları birbirleri ile çarpmak suretiyle döndürebiliriz. Örneğin karmaşık sayısının 1 + i karmaşık sayısı ile çarparsak z'yi 45 derece döndürmüş oluruz. Eğer karmaşık sayımızı eski haline geri getirmek istersek sayının eşleniği olan 1 - i ile çarparak vektörü eski konumuna getirebiliriz.

2) İfadeleri Sadeleştirme: Örneğin; (3+4i) / (-5+6i) gibi ifadelerin sadeleştirilmesinde karmaşık sayıların eşleniklerini kullanırız. Genellikle pay ve paydada karmaşık sayıların olması yerine paydayı eşleniği ile çarparak basit karmaşık sayı elde edilir.

Bu tür işlemler rasyonelleştirme olarak adlandırılır. Rasyonelleştirme işlemi matematiksel işlemlerde işimizi basitleştirmekte.

3) Polinom İfadesinin Köklerini Bulma: Karmaşık sayıları polinom ifadelerinin köklerini bulmada kullanırız. Örneğin polinom ifadesinin diskriminantı sıfırdan küçükse kökler karmaşık sayılardır bir kök x + iy ise diğeri x - iy olur.

4) Ayrık ve Ters Ayrık Fourier Dönüşümü Hesaplanması: Karmaşık eşlenikleri Ayrık Fourier Dönüşümü (AFD) veya Ters Ayrık Fourier Dönüşümü (TAFD) bulmak istediğimizde kullanmaktayız. Çünkü AFD ve TAFD gerçek dizilerdir ve simetriklerdir.

Şekil 3'de eşlenik simetri sergileyen bir gerçek dizinin 5 noktalı örneğini AFD görmekteyiz. P1 noktasının simetriğinin P1* ve P2 noktasının simetriğinin P2*olduğunu görebiliyoruz.

Şekil 3: Eşlenik simetri sergileyen bir gerçek dizinin 5 noktalı örneği

Örneğin eşlenik simetri sergileyen bir 7 noktalı gerçek dizinin ilk dört noktası (1,0.25+0.3i,0.5-0.2i,0.3-0.6i) olsun. Eşlenikleri ise şu şekilde oluşur (0.25-0.3i,0.5+0.2i,0.3+0.6i). Bu yöntem oldukça kullanışlıdır. Çünkü AFD ve TAFD hesaplamada işlem yükünü yarıya indirmekte.

5) AC Devre Analizi: Şekil 4'te direnç, indüktör, kapasitör, akım ve gerilim kaynağından oluşan bir devre görmekteyiz.

Şekil 4: İndüktör, kapasitör, akım ve gerilim kaynağından oluşan bir devre

Not: Bu tip devre analizlerinde “i” yerine “j” imajiner birim olarak kullanılır. “j” harfinin kullanılma sebebi devre analizi yapılırken “i” harfinin akım için kullanılmasıdır, karışıklık olması engellenmek istenmiştir.

Şekil 4'de ki gibi devrelerin analizi sadece direnç ve kaynaktan oluşan devrelere göre daha zordur. Bunun nedeni ise devredeki kapasitör ve indüktördürün zaman bağımlı olması. Bu devreler zaman domeninde incelenebilir, fakat frekans düzleminde çalışmak daha kolaydır sadece kapasitör ve indüktörün empedans değerlerini hesaplamak yeterlidir. İndüktörün empedans değerini hesaplamak için jwL formülü kullanılır ve indüktans değerini L‘yi bilmek yeterlidir. Kapasitörün empedans değerini hesaplamak için 1/(jwC) formülü kullanılır ve kapasitans değerini C‘yi bilmek yeterlidir. Devre analizi sırasında karşılaştığımız karmaşık sayıları rasyonelleştirmek için karmaşık sayıların eşleniklerini kullanırız. Maksimum güç transferi için Thevenin teoremi ile empedans hesaplanması yapılırken karmaşık sayılar ve eşlenikleri kullanılır.

6) Olasılık: Kuantum fiziğinde fiziksel bir olayın gerçekleşme olasılığı tüm ihtimallerin toplanıp mutlak değerinin karesi alınması ile bulunmaktadır. Bir sistemin gerçek dalga genlikleri ile tahmin edilen genlik değerleri arasındaki farklar hesaplanırken karmaşık sayılar ve eşlenikleri kullanılmaktadır.

Kaynak:

►allaboutcircuits.com